Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，M，N分别为AA₁、BB₁的中点．
求：（1）CM与D₁N所成角的余弦值．
（2）D₁N与平面MBC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D为坐标原点，以DA，DC，DD₁分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系D-xyz，分别求出CM与D₁N的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出CM与D₁N所成角的余弦值．
（2）结合（1）中D₁N的方向向量求出平面MBC的法向量，代入向量夹角公式，即可求出D₁N与平面MBC所成角的余弦值．

解答：解：（1）以D为坐标原点，以DA，DC，DD₁分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，D-xyz，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，M，N分别为AA₁、BB₁的中点
则C（0，2，0）、D₁（0，0，2）、M（2，0，1）、N（2，2，1）
∴

CM

=(2，-2，1)，

D1N

=(2，2，-1)
∴cos＜

CM

，

D1N

＞=

CM • D1N

| CM | D1N ||

=-

1

9

但CM与D₁N所成的角应是＜

CM

，

D1N

＞的补角，∴CM与D₁N所成的角的余弦值为

1

9

（2）

BM

=(0，-2，1)，

BC

=(-2，0，0)则可得平面MBC的法向量

n

=(0，1，2），

D1N

与

n

夹角的余弦值cos＜

D1N

，

n

＞=0，则D₁N与平面MBC所成角的余弦值为1

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，其中建立适当的空间坐标系，将空间直线与直线，直线与平面的夹角问题转化为向量的夹角问题是解答本题的关键．