Question

18．已知函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$-3x
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析 （1）由求导公式求出f′（x），再求出f（1）和f′（1），由导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程并化为一般式；
（2）先求出函数的定义域，再由f′（x）=0求出函数的临界点，利用二次函数的性质求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即可求出函数的单调区间和极值．

解答 解：（1）由题意得，$f′（x）=\frac{1}{x}+x-3=\frac{{x}^{2}-3x+1}{x}$，且$f（1）=-\frac{5}{2}$，
∴切线的斜率k=f′（1）=-1，
∴在（1，f（1））处切线方程：$y=-（x-1）-\frac{5}{2}$，即2x+y+3=0；
（2）函数的定义域（0，+∞），
由$f′（x）=\frac{{x}^{2}-3x+1}{x}=0$得，x²-3x+1=0，
解得${x}_{1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}或{x}_{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
当$0＜x＜\frac{3-\sqrt{5}}{2}或x＞\frac{3+\sqrt{5}}{2}$时，f′（x）＞0，
当$\frac{3-\sqrt{5}}{2}＜x＜\frac{3+\sqrt{5}}{2}$时，f′（x）＜0，
∴函数的单调递增区间为$（0，\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}）$，$（\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}，+∞）$，
函数的单调递减区间为$（\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}，\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}）$，
∴当$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$时，f（x）取得极大值$f（\frac{3-\sqrt{5}}{2}）=ln\frac{3-\sqrt{5}}{2}+\frac{3\sqrt{5}-11}{4}$，
当$x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$时，f（x）取得极小值$f（\frac{3+\sqrt{5}}{2}）=ln\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\frac{3\sqrt{5}+11}{4}$．

点评 本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性、极值问题，考查化简、计算能力，属于中档题．