Question

（2013•河东区二模）已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）²-2sin²2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移

π

8

个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x∈[0，

π

4

]时，求y=g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式，化简函数f（x）的解析式为

2

sin(4x+

π

4

)，由此求得函数f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）依题意，y=g（x）=

2

sin(4x-

π

4

)+1，根据x的范围求得-

π

4

≤4x-

π

4

≤

3π

4

，结合图象求出y=g（x）的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=（sin2x+cos2x）²-2sin²2x=sin4x+cos4x=

2

sin(4x+

π

4

)，…（6分）
所以函数f（x）的最小正周期为

π

2

．…（8分）
（Ⅱ）依题意，y=g（x）=

2

sin[4(x-

π

8

)+

π

4

]+1=

2

sin(4x-

π

4

)+1．…（10分）
因为0≤x≤

π

4

，所以-

π

4

≤4x-

π

4

≤

3π

4

．…（11分）
当4x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

16

时，g（x）取最大值

2

+1；
当4x-

π

4

=-

π

4

，即x=0时，g（x）取最小值0．…（13分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，三角函数的周期性性以及求法，正弦函数的定义域和值域，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．