Question

设函数f（x）=px²+qx-

q

x

是奇函数，其中p，q是常数，且q≠0．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若q＜0，求f（x²-1）的单调减区间；
（Ⅲ）求f（sinx+cosx）在x∈[0，

π

2

]上的最大值与最小值．（用q表示）

Answer 1

分析：（I）由f（x）为奇函数，故f（-x）=-f（x），代入后根据多项式相等的充要条件，可得p的值；
（Ⅱ）由（I）可得f（x）的解析式，利用导数法分析出函数的单调性后，进而可由复合函数单调性得到f（x²-1）的单调减区间
（III）由（II）可得当q＜0时，函数f（x）在定义域内是减函数，当q＞0时，函数f（x）在定义域内是增函数，结合sinx+cosx在x∈[0，

π

2

]上的值域为[1，

2

]，代入可得函数的最值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x）即…（1分）
即px²-qx-

q

x

=-（px²+qx-

q

x

）得2px²=0对任意x≠0恒成立…（1分）
∴p=0                              …（1分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=qx-

q

x

（q≠0）的定义域为{x|x≠0}
∵f（x）=q+

q

x2

                      …（1分）
∴当q＜0时，f′（x）＜0恒成立，f（x）在定义域内是减函数   …（1分）
又∵x²-1≠0时，x≠±1，
t=x²-1在（0，1），（1，+∞）上递增，在（-∞，-1），（-1，0）上递减…（1分）
∴当q＜0时，f（x²-1）的单调减区间为（0，1）和（1，+∞）…（2分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：
当q＜0时，函数f（x）在定义域内是减函数
当q＞0时，函数f（x）在定义域内是增函数…（1分）
∵u=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），x∈[0，

π

2

]…（1分）
则u∈[1，

2

]…（1分）
当q＜0时，函数f（x）的最大值为f（1）=0，最小值为f（

2

）=

2

2

q…（1分）
当q＞0时，函数f（x）的最大值为f（

2

）=

2

2

q，最小值为f（1）=0…（1分）

点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，两角和与差的正弦函数，函数的最值，复合函数的单调性，函数奇偶性的性质，是函数图象和性质比较综合的应用，属于难题．