Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（2+x）=f（2-x）．
（Ⅰ）证明：f（x+4）=f（x）；
（Ⅱ）当x∈（4，6）时，f（x）=

x2-x-2

x-3

．讨论函数f（x）在区间（0，2）上的单调性．

Answer 1

分析：（1）先由偶函数寻求f（-x）与f（x）的关系，再转化f（2+x）=f（2-x）为f（4+x）=f（-x）即可；
（2）先求（0，2）上的解析式，再用导数研究单调性．

解答：解：（Ⅰ）因为函数f（x）是偶函数，
所以f（-x）=f（x），（1）（2分）
又f（2+x）=f（2-x）?f（2+2+x）=f（2-2-x）?f（4+x）=f（-x）（2）
由（1）、（2）得f（x+4）=f（x）（5分）
（Ⅱ）因为当x∈（4，6）时，f（x）=

x2-x-2

x-3

当0＜x＜2时，4＜x+4＜6，
由（Ⅰ）知f（x）=f（x+4）
=

(x+4)2-(x+4)-2

x+4-3

=

x2+7x+10

x+1

（7分）
f′（x）=

x2+2x-3

(x+1)2

（9分）
令f′（x）=0，得x=-3或x=l，因为0＜x＜2，所以x=1．
因为x∈（0，1）时，f′（x）＜O，x∈（1，2）时，f′（x）＞O，
所以函数以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增．（12分）

点评：本题主要考查奇偶性和单调性以及转化化归思想．