Question

12．已知E、F、G分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AA₁、AB、BC的中点．分别求下列各对异面直线所成角的余弦值：
①EF与DC₁     ②BD₁与DC₁       ③BD₁与GC₁④EF与GC₁
⑤BD₁与EF     ⑥BD₁与DC        ⑦EF与AD₁        ⑧AD₁与GC₁ ．

Answer 1

分析 由正方体的性质和异面直线所成角的定义，逐个选项解三角形可得．

解答 解：①由正方体的性质可得DC₁⊥A₁B，又EF∥A₁B，
∴EF⊥DC₁，∴EF与DC₁所成角的余弦值为0；
②∵DC₁⊥D₁C，DC₁⊥BC，∴DC₁⊥平面BCD₁，
∴BD₁⊥DC₁，∴BD₁与DC₁所成角的余弦值为0；
③取B₁C₁的中点H，易得GC₁∥BH，
∴∠D₁BH即为BD₁与GC₁ 所成角，
设正方体的棱长为2，可得BH=$\sqrt{5}$，BD₁=2$\sqrt{3}$
在RT△D₁BH中，可得cos∠D₁BH=$\frac{BH}{B{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{6}$；
④由③知GC₁∥BH，又A₁B∥EF，
∴∠A₁BH即为EF与GC₁ 所成角，
设正方体的棱长为2，可得A₁B=2$\sqrt{2}$，BH=A₁H=$\sqrt{5}$
在△A₁BH中，由余弦定理可得cos∠A₁BH
=$\frac{（2\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}{2×2\sqrt{3}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$；
⑤∵D₁C∥EF，∴∠BD₁C即为BD₁与EF所成角，
在RT△BD₁C中，可得cos∠BD₁C=$\frac{{D}_{1}C}{{D}_{1}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
⑥∵DC∥D₁C₁，∴∠BD₁C₁即为BD₁与DC所成角，
在RT△BD₁C₁中，可得cos∠BD₁C₁=$\frac{{D}_{1}{C}_{1}}{{D}_{1}B}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
⑦∵D₁C∥EF，∴∠AD₁C即为EF与AD₁所成角，
∴AD₁C为等比三角形，∴∠AD₁C=60°，
∴EF与AD₁所成角的余弦值为$\frac{1}{2}$；
⑧∵BC₁∥AD₁，∴∠BC₁G即为AD₁与GC₁ 所成角，
在△BC₁G中，BG=1，BC₁=2$\sqrt{2}$，GC₁=$\sqrt{5}$，
由余弦定理可得cos∠BC₁G=$\frac{5+8-1}{2×\sqrt{5}×2\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$

点评 本题考查异面直线所成的角，涉及异面直线所成角的定义和余弦定理，属中档题．