Question

设a＞0,a≠1,0＜x＜1,

求证:|log_a(1-x)|＞|log_a(1+x)|.

Answer 1

证明：方法一:(平方后作差)log_a²(1-x)-log_a²(1+x)=［log_a(1-x)+log_a(1+x)］·［log_a(1-x)-log_a(1+x)］

=log_a(1-x²)·log_a.

当a＞1时,log_a(1-x²)＜0,log_a＜0,

∴log_a²(1-x)-log_a²(1+x)＞0,

即|log_a(1-x)|＞|log_a(1+x)|.

当0＜a＜1时,log_a(1-x²)＞0,log_a＞0.

∴log_a²(1-x)＞log_a²(1+x),

即|log_a(1-x)|＞|log_a(1+x)|.

综上,问题得证.

方法二:∵0＜x＜1,∴lg(1-x)＜0,lg(1+x)＞0,lg(1-x²)＜0.

∴|log_a(1-x)|-|log_a(1+x)|

=＞0.

∴|log_a(1-x)|＞|log_a(1+x)|.