Question

设x,y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

Answer 1

思路分析：证明充要条件要证明两个方面即有充分性和必要性.

证明:充分性：如果xy=0,那么，①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0.

于是|x+y|=|x|+|y|.

    如果xy＞0,即x＞0,y＞0或x＜0,y＜0,

    当x＞0,y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|;

    当x＜0,y＜0时，|x+y|=-x-y=（-x）+（-y）=|x|+|y|.

    总之，当xy≥0时，|x+y|=|x|+|y|.

    必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,

    得（x+y）²=（|x|+|y|）²,即x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y².

    得|xy|=xy.所以xy≥0.故必要性成立，综上，原命题成立.

误区警示 此命题是一个倒装句，应叙述为“xy≥0是|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件”，充分性是xy≥0|x+y|=|x|+|y|,注意不要颠倒.