Question

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为

1

2

与p，且乙投球2次均未命中的概率为

1

16

．
（Ⅰ）求乙投球的命中率p；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据乙投球2次均未命中的概率为

1

16

，两次是否投中相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式写出乙两次都未投中的概率，列出方程，解方程即可．
（II）做出甲投球命中的概率和乙投球命中的概率，因为两人共命中的次数记为ξ，得到变量可能的取值，看清楚变量对应的事件，做出事件的概率，写出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）根据乙投球2次均未命中的概率为

1

16

，两次是否投中相互之间没有影响，
设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B
由题意得(1-P(B))2=(1-p)2=

1

16

解得p=

3

4

或

5

4

（舍去），
∴乙投球的命中率为

3

4

．

（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知P(A)=

1

2

，P(

.

A

)=

1

2

，P(B)=

3

4

，P(

.

B

)=

1

4

ξ可能的取值为0，1，2，3，
P(ξ=0)=P(

.

A

)P(

.

B

•

.

B

)=

1

2

×(

1

4

)2=

1

32

P(ξ=1)=P(A)P(

.

B

•

.

B

)+

C

1 2

P(B)P(

.

B

)P(

.

A

)=

1

2

×(

1

4

)2=

1

32

=

1

2

×(

1

4

)2+2×

3

4

×

1

4

×

1

2

=

7

32

P(ξ=3)=P(A)P(B•B)=

1

2

×(

3

4

)2=

9

32

P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=

15

32

∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望Eξ=0×

1

32

+1×

7

32

+2×

15

32

+3×

9

32

=2．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查对立事件的概率，是一个综合题，是近几年高考题目中经常出现的一个问题．