Question

设f（x）=e^x-ax+

a

ex

，x∈R，已知斜率为k的直线与y=f（x）的图象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）两点，若对任意的a＜-2，k＞m恒成立，则m的最大值为（　　）

• A、-2+

  2

• B、0
• C、2+

  2

• D、2+2

  2

Answer 1

分析：可考虑斜率为k的直线与y=f（x）的图象相切的情况，设出切点，求出相切时k的最小值，由不等式恒成立结论：a＜f（x）恒成立?a＜f（x）_min得到m的最大值．

解答：解：因为f（x）=e^x-ax+

a

ex

，
所以导数f'（x）=e^x-a-

a

ex

当斜率为k的直线与y=f（x）的图象相切，设切点（x₀，y₀），
则k=ex0-a-

a

ex0

=ex0+

-a

ex0

-a，
由于a＜-2，
所以-a＞2，k≥2

-a

+(-a)，
即k≥（

-a

+1）²-1＞（

2

+1）²-1，
即k＞2+2

2

．
因为对任意的a＜-2，k＞m恒成立，
所以m≤k的最小值，即m≤2+2

2

．
故选D．

点评：本题考查了函数恒成立问题，结合图象观察直线与曲线相切求出斜率的范围，根据恒成立转化为求最值，应用基本不等式和二次函数的知识，求出k的范围，得出结论．本题属于难题．