Question

中国队与韩国队进行6场乒乓球表演赛，中国队3名女子单打的胜率分别为

4

5

，

3

4

，

2

3

，中国队3名男子单打的胜率均为

1

2

，且各场比赛结果互不影响．
（1）求3名女子单打全胜的概率；
（2）在6场比赛中，中国队男女各胜一场的概率；
（3）中国队获胜场次ξ的分布列和期望（结果保留小数点后一位数）．

Answer 1

分析：（1）根据中国队3名女子单打的胜率分别为

4

5

，

3

4

，

2

3

，可求3名女子单打全胜的概率；
（2）设A_i表示男子比赛获胜的场次k=0，1，2，3，B_i表示女子比赛获胜的场次 i=0，1，2，3，则A_i，B_i独立，利用独立重复试验中事件发生的概率公式，可求中国队男女各胜一场的概率；
（3）确定ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5，6，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望．

解答：解：（1）∵中国队3名女子单打的胜率分别为

4

5

，

3

4

，

2

3

，∴3名女子单打全胜的概率P=

4

5

×

3

4

×

2

3

=

2

5

（2）设A_i表示男子比赛获胜的场次k=0，1，2，3，B_i表示女子比赛获胜的场次 i=0，1，2，3，则A_i，B_i独立．
由独立重复试验中事件发生的概率公式有P（A_k）=

C

k 3

(

1

2

)k
∴P（A₀）=

1

8

，P（A₁）=

3

8

，P（A₂）=

3

8

，P（A₃）=

1

8

；P（B₀）=

1

60

，P（B₁）=

3

20

，P（B₂）=

13

30

，P（B₃）=

2

5

中国队男女各胜一场的概率为P（A₁•B₁）=

3

8

×

3

20

=

9

160

（3）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5，6．
P（ξ=0）=P（A₀•B₀）=

1

480

，P（ξ=1）=P（A₀•B₁）+P（A₁•B₀）=

12

480

，
P（ξ=2）=P（A₀•B₂）+P（A₁•B₁）+P（A₂•B₀）=

56

480

，
P（ξ=3）=P（A₀•B₃）+P（A₁•B₂）+P（A₂•B₁）+P（A₃•B₀）=

130

480

P（ξ=4）=P（A₁•B₃）+P（A₂•B₂）+P（A₃•B₁）=

159

480

P（ξ=5）=P（A₂•B₃）+P（A₃•B₂）=

98

480

P（ξ=6）=P（A₃•B₃）=

24

480

综上知，ξ的分布列

ξ	0	1	2	3	4	5	6
P	1 480	12 480	56 480	130 480	159 480	98 480	24 480

从而，ξ的期望Eξ=

1784

480

=

223

60

≈3.7

点评：本题考查独立重复试验中事件发生的概率，考查离散型随机变量的期望与分布列，确定变量的取值，求出概率是关键．