Question

已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，且点A(-1,0)和点B(0,8)关于直线l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.

Answer 1

思路分析：设∠B′Ox=α，利用对称的几何性质和三角函数知识求解.

解：设点A、B关于l的对称点为A′(x₁,y₁)、B′(x₂,y₂)，

    又设∠B′Ox=α,依题意，有|OA′|=|OA|=1,|OB′|=|OB|=8.

    故x₂=8cosα，y₂=8sinα.

    由∠BOA=90°，知∠B′OA′=90°.∴x₁=cos(α-90°)=sinα，y₁=sin(α-90°)=-cosα.

    又x₁＞0，x₂＞0，故α为第一象限的角.∴A′(sinα,-cosα)、B′(8cosα,8sinα).

    将A′、B′的坐标代入抛物线方程，得cos²α=2psinα,

64sin²α=16pcosα.

∴8sin³α=cos³α，即tanα=.从而sinα=,cosα=.

∴p=，得抛物线C的方程为y²=.

    又直线l平分∠B′OB，得l的倾斜角为α++45°.

∴k=tan(+45°)=.

∴直线l的方程为y=x.

方法归纳 (1)本题属于点关于直线的对称问题.利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到.

(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握.