Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-

1

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设直线l：y=t²-t（其中0＜t＜

1

2

，t为常数），若直线l与f（x）的图象以及y轴所围成封闭图形的面积是S₁（t），直线l与f（x）的图象所围成封闭图形的面积是S₂（t），设g(t)=S1(t)+

1

2

S2(t)，当g（t）取最小值时，求t的值．
（3）已知m≥0，n≥0，求证：

1

2

(m+n)2+

1

4

(m+n)≥m

n

+n

m

．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件选择待定系数法确定函数解析式是解决本题的关键，充分借助二次函数的对称性解决该问题可以事半功倍；
（2）利用定积分表示出所求的图形面积是解决本题的关键．得出关于t的函数关系，根据函数解析式的类型选择合适的方法求解该函数的最值，利用导数求解其最小值；
（3）利用均值不等式进行放缩是证明该不等式的关键，根据已知的函数可以得出关于m，n的不等式．

解答：解：（1）由二次函数图象的对称性，可设f(x)=a(x-

1

2

)2-

1

4

，又f（0）=0∴a=1
故f（x）=x²-x．
（2）据题意，直线l与f（x）的图象的交点坐标为（t，t²-t），由定积分的几何意义知g(t)=S1(t)+

1

2

S2(t)=-

∫

t 0

[(t2-t)-(x2-x)]dx-

∫

1 2 t

[(x2-x)-(t2-t)]dx
=

∫

t 0

[(x2-x)-(t2-t)]dx+

∫

1 2 t

[(t2-t)-(x2-x)]dx
=[(

x3

3

-

x2

2

)-(t2-t)x]

|

t 0

+[(t2-t)x-(

x3

3

-

x2

2

)]

|

1 2 t

=-

4

3

t3+

3

2

t2-

1

2

t+

1

12

．
而g′(t)=-4t2+3t-

1

2

=-

1

2

(8t2-6t+1)=-

1

2

(4t-1)(2t-1)
令g′(t)=0?t=

1

4

，或t=

1

2

（不合题意，舍去）
当t∈(0，

1

4

)，g′(t)＜0，g（t）递减，t∈[

1

4

，

1

2

)，g'（t）≥0，g（t）递增，
故当t=

1

4

时，g（t）有最小值．
（3）∵f（x）的最小值为-

1

4

∴m-

m

≥-

1

4

①n-

n

≥-

1

4

②
①+②得：m+n+

1

2

≥

m

+

n

③
又

1

2

(m+n)2+

1

4

(m+n)=

1

2

(m+n)(m+n+

1

2

)
由均值不等式和③知：

1

2

(m+n)≥

mn

；?m+n+

1

2

≥

m

+

n

故

1

2

(m+n)2+

1

4

(m+n)=

1

2

(m+n)(m+n+

1

2

)
≥

mn

(

m

+

n

)=m

n

+n

m

．

点评：本题考查函数解析式的求解，考查二次函数的对称性．考查定积分求解曲边图形面积的思想和方法，导数求函数最值的工具作用．考查函数思想解决证明不等式问题、用到了均值定理进行放缩．