Question

已知函数f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx-sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f(

A

2

)=2且a²=bc，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：﹙Ⅰ﹚通过倍角公式和两角和公式，对函数f（x）进行化简．进而求出最小正周期和值域；
﹙Ⅱ﹚通过f(

A

2

)=2求出A的值．在根据余弦定理及a²=bc，进而通过b=c求出B，C的值．

解答：解：﹙Ⅰ﹚f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx-sin2x
=

3

sin2x+cos2x
=2sin(2x+

π

6

)
∴T=π，f（x）∈[-2，2]
﹙Ⅱ﹚由f(

A

2

)=2，有f(

A

2

)=2sin(A+

π

6

)=2，
∴sin(A+

π

6

)=1．
∵0＜A＜π，
∴A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

．
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA及a²=bc，
∴（b-c）²=0
∴b=c，
∴B=C=

π

3

．
∴△ABC为等边三角形．

点评：本题主要考查余弦定理的应用．解本题的关键是求出A的值．