Question

（2008•宣武区一模）在面积为9的△ABC中，tan∠BAC=-

4

3

，且

CD

=2

DB

．现建立以A点为坐标原点，以∠BAC的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示．
（1）求AB、AC所在的直线方程；
（2）求以AB、AC所在的直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；
（3）过D分别作AB、AC所在直线的垂线DF、DE（E、F为垂足），求

DE

•

DF

的值．

Answer 1

分析：（1）设直线AC的倾斜角为α，则可得直线AB的倾斜角为π-α，由题意可得，tan2α=

2 tanα

1-tan2α

=-

4

3

，从而可直线AC与AB的斜率，进而可求直线方程
（2）由（1）可设双曲线的方程可以设为4x²-y²=λ（λ≠0）．由

CD

=2

DB

可得得D代入双曲线方程可得点D，结合△ABC的面积为9可求λ即可
（3）设出D点坐标，由点到直线的距离公式求出|DE|，|DF|，再求出DE和DF所成角的余弦值，注意到此角与角的联系，由向量数量积的定义求解即可．

解答：解：（1）设直线AC的倾斜角为α，则可得直线AB的倾斜角为π-α
由题意可得，tan2α=

2 tanα

1-tan2α

=-

4

3

tanα=2或tanα=-

1

2

(舍)
K_AC=2K_AB=-2
直线AC与AB的方程分别为y=2x，y=-2x
（2）由（1）可设双曲线的方程可以设为4x²-y²=λ（λ≠0）．
设B（x₁，-2x₁），C（x₂，-2x₂），由

CD

=2

DB

得 D(

2x1+x2

3

，

-4x1+2x2

3

)  
所以4(

2x1+x2

3

)2-(

-4x1+2x2

3

)2=λ 即

32

9

x1x2=λ
由 tan2α=-

4

3

，得 sin2α=

4

5

又∵|AB|=

5

|x₁|，|AC|=

5

|x2|
∴S△ABC=

1

2

|AB|•|AC|sinA=

1

2

×5x₁x₂•sin2α=9，
即 x1x2=

9

2

，代入等式（*），得λ=16．
所以，双曲线的方程为

x2

4

-

y2

16

=1
（2）由题设可知＜

DE

，

DF

＞=π-2α，所以 cos?＜

DE

，

DF

＞=cos(π-2α)=

3

5

．
设点D（x₀，y₀），
则

x 2 0

4

-

y02

16

=1，
于是，点D到AB，AC所在的直线的距离是DE=

|2x0-y0|

5

，DF=

|2x0+y0|

5

DE

•

DF

=|DE|•|DF|•

3

5

=

|2x0-y0|

5

•

|2x0+y0|

5

•

3

5

=

48

25

点评：本题考查求双曲线的方程、双曲线的渐近线等知识，以及平面向量、三角等，综合性较强，考查利用所学知识综合处理问题的能力．