题目内容
已知函数f（x）=lnx-m（x-
）（m为实常数）（1）当m=
时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；（2）若函数f（x）无极值点，求m的取值范围．
【答案】分析：（1）当m=
时，f（x）=lnx-
（x-
），求导数f′（x），利用导数符号求出函数的单调区间，根据单调性即可求得其最大值；
（2）求出函数的定义域（0，+∞），导数f′（x）=
，f（x）无极值点，则f（x）在定义域（0，+∞）上单调，即f′（x）≥0，或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，分情况讨论，分离参数后转化为函数最值即可解决；
解答：解：（1）当m=
时，f（x）=lnx-
（x-
），
令f′（x）=
-
（1+
）=-
=0，得x=2或x=
（舍去），
当x∈（1，2）时，f′（x）＞0；当x∈（2，e）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，2）上递增，在（2，e）上递减，
∴当x=2时，f（x）max=f（2）=ln2-
；
（2）f（x）定义域（0，+∞），
f′（x）=
-m （1+
）=
，
由题意，f（x）无极值点，则f（x）在定义域（0，+∞）上单调，分如下情况讨论：
①若f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则-mx2+x-m≥0，即m≤
在（0，+∞）上恒成立，
当x＞0时，
=
∈（0，
]，∴m≤0；
②若f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，则-m2+x-m≤0，即m≥
在（0，+∞）上恒成立，
当x＞0时，
=
∈（0，
]，∴m≥
；
综①②，函数f（x）无极值点时，m的取值范围是（-∞，0]∪[
，+∞）．
点评：本题考查利用导数研究函数的极值、闭区间上函数的最值，考查基本不等式求最值，考查分类讨论思想，考查学生运用知识解决问题的能力．
时，f（x）=lnx-（x-），求导数f′（x），利用导数符号求出函数的单调区间，根据单调性即可求得其最大值；（2）求出函数的定义域（0，+∞），导数f′（x）=
，f（x）无极值点，则f（x）在定义域（0，+∞）上单调，即f′（x）≥0，或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，分情况讨论，分离参数后转化为函数最值即可解决；解答：解：（1）当m=
时，f（x）=lnx-（x-），令f′（x）=
-（1+）=-=0，得x=2或x=（舍去），当x∈（1，2）时，f′（x）＞0；当x∈（2，e）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，2）上递增，在（2，e）上递减，
∴当x=2时，f（x）max=f（2）=ln2-
；（2）f（x）定义域（0，+∞），
f′（x）=
-m （1+）=，由题意，f（x）无极值点，则f（x）在定义域（0，+∞）上单调，分如下情况讨论：
①若f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则-mx2+x-m≥0，即m≤
在（0，+∞）上恒成立，当x＞0时，
=∈（0，]，∴m≤0；②若f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，则-m2+x-m≤0，即m≥
在（0，+∞）上恒成立，当x＞0时，
=∈（0，]，∴m≥；综①②，函数f（x）无极值点时，m的取值范围是（-∞，0]∪[
，+∞）．点评：本题考查利用导数研究函数的极值、闭区间上函数的最值，考查基本不等式求最值，考查分类讨论思想，考查学生运用知识解决问题的能力．
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