题目内容
（2013•湖州二模）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时.
•
的最大值为
| PM |
| PN |
2
2
．分析：利用“当点P，M，N三点共线时，
•
取得最大值”，此时
•
≤(
-
)•(
+
)，而
=
，可得
•
≤
2-R2=
2-1，可知当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值，求出即可．
| PM |
| PN |
| PM |
| PN |
| PO |
| MO |
| PO |
| ON |
| MO |
| ON |
| PM |
| PN |
| PO |
| PO |
解答：解：设点O是此正方体的内切球的球心，半径R=1．
∵
•
≤|
| |
|，∴当点P，M，N三点共线时，
•
取得最大值．
此时
•
≤(
-
)•(
+
)，而
=
，
∴
•
≤
2-R2=
2-1，
当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值，
∴(
•
)max=(
)2-1=2．
故答案为2．
∵
| PM |
| PN |
| PM |
| PN |
| PM |
| PN |
此时
| PM |
| PN |
| PO |
| MO |
| PO |
| ON |
| MO |
| ON |
∴
| PM |
| PN |
| PO |
| PO |
当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值，
∴(
| PM |
| PN |
2
| ||
| 2 |
故答案为2．
点评：充分理解数量积得性质“当点P，M，N三点共线时，
•
取得最大值”是解题的关键．
| PM |
| PN |
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