Question

甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92
（1）求该题被乙独立解出的概率；
（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差

Answer 1

分析：（1）根据该题被甲独立解出的概率和该题被甲或乙解出的概率，设出事件，表示出概率之间的关系，根据相互独立事件同时发生的概率公式得到结果．
（2）解出该题的人数ξ，由题意知变量的取值可能是0，1，2，根据条件中给出的和第一问解出的概率，写出变量对应的概率，写出分布列、期望和方差．

解答：解：（1）记甲乙分别解出此题的事件记为A和B
设甲独立解出此题的概率为P₁，乙独立解出为P₂
则P（A）=P₁=06，P（B）=P₂
P（A+B）=1-P（

A

•

B

）=1-（1-P₁）（1-P₂）=P₁+P₂-P₁P₂=0.92
∴0.6+P₂-0.6P₂=0.92，则0.4P₂=0.32 即P₂=0.8
（2）由题意知变量的取值可能是0，1，2，
P（ξ=0）=P（

A

）•P（

B

）=0.4×0.2=0.08
P（ξ=1）=P（A）P（

B

）+P（

A

）P（B）=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44
P（ξ=2）=P（A）•P（B）=0.6×0.8=0.48
∴ξ的概率分布为：

∴Eξ=0×0.08+1×0.44+2×0.48=0.44+0.96=1.4
∴Dξ=（0-1.4）²•0.08+（1-1.4）²•0.44+（2-1.4）²-1.48
=0.1568+0.0704+0.1728=0.4

点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，是一个概率的综合题，解题时注意两问之间的关系．