题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ cos²x+sinxcosx $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若 $数学公式$ ，求函数f（x）的取值范围．

解：（1）f（x）= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ sin2x- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x
=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．
由- $\text{[math]}$ +2kπ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2kπ得：- $\text{[math]}$ +kπ≤x≤ $\text{[math]}$ +kπ，（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为[- $\text{[math]}$ +kπ， $\text{[math]}$ +kπ]，k∈Z；
（2）∵x∈[0， $\text{[math]}$ ]，
∴2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴当2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即x= $\text{[math]}$ 时f（x）_max=1，
当2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即x= $\text{[math]}$ 时f（x）_min= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ≤f（x）≤1．
分析：（1）利用降幂公式与辅助角公式将f（x）化简为：f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ），利用正弦函数的单调性质即可求得函数f（x）的单调递增区间；
（2）由x∈[0， $\text{[math]}$ ]，可求得2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，利用正弦函数的单调性即可求得函数f（x）的取值范围．
点评：本题考查三角函数的降幂公式与辅助角公式，考查正弦函数的单调性，考查分析与运算能力，属于中档题．