题目内容

已知：0＜θ＜π，等比数列{a_n}中，a₂=sinθ+cosθ，a₃=1+sin2θ， $数学公式$ ．
（1）问 $数学公式$ 是否为数列{a_n}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．
（2）若等比数列{a_n}的公比q满足|q|＜1，求θ的取值范围．

解：（1）∵等比数列{a_n}中，a₂=sinθ+cosθ，
a₃=1+sin2θ（sinθ+cosθ）²，
所以q=sinθ+cosθ，
所以a_n=（sinθ+cosθ）^n-1．
∵ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ =2+2sin2θ-cos²2θ
=1+2sin2θ+sin²2θ
=（sinθ+cosθ）⁴，
所以 $\text{[math]}$ 是数列{a_n}中的第5项．
（2）∵|q|=|sinθ+cosθ|
= $\text{[math]}$ ＜1，
∴|sin（ $\text{[math]}$ ）|＜ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由等比数列{a_n}中，a₂=sinθ+cosθ，a₃=1+sin2θ（sinθ+cosθ）²，知q=sinθ+cosθ，所以以a_n=（sinθ+cosθ）^n-1．由 $\text{[math]}$ =2+2sin2θ-cos²2θ=1+2sin2θ+sin²2θ=（sinθ+cosθ）⁴，知 $\text{[math]}$ 是数列{a_n}中的第5项．
（2）由|q|=|sinθ+cosθ|= $\text{[math]}$ ＜1，知|sin（ $\text{[math]}$ ）|＜ $\text{[math]}$ ，由此能求出θ的取值范围．
点评：本题考查数列与不等式的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量的数列积和三角函数的灵活运用．