Question

张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y（元/吨）与采购量x （吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．
（Ⅰ）求y与x之间的函数关系式；
（Ⅱ）已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据所给的函数的图象，可以判断该函数关系为分段函数，分两段分别求解函数的解析式，即可得到答案；
（Ⅱ）利用函（Ⅰ）中函数解析式表示出w，进而利用函数性质分段求解最值，最后比较两个最值，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）根据图象可知，
当0＜x≤20时，y=8000，
当20＜x≤40时，设y=kx+b，
∵B（20，8000），C（40，4000）在图象上，
则有

8000=20k+b 4000=40k+b

，解得

k=-200 b=12000

，
∴y=-200x+12000，
综上可得，y=

8000，               0＜x≤20 -200x+12000，20＜x≤40

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，y=

8000，               0＜x≤20 -200x+12000，20＜x≤40

，
①当0＜x≤20时，w=（8000-2800）x=5 200x，
∵w=5200x在（0，20]上是单调递增函数，
∴当x=20时，w取得最大值为104000；
②当20＜x≤40时，w=（-200x+12 000-2800）x=-200（x²-46x）=-200（x-23）²+105800，
对称轴为x=23∈（20，40]，
∴当x=23时，w取得最大值为105800元．
综合①②，由于105800＞104000，
∴当x=23时，w取得最大值为105800，
故当张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为105800元．

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题建立的数学模型为分段函数，对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．属于中档题．