Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为1的正方体，四棱锥P-A₁B₁C₁D₁中，P∈平面DCC₁D₁，PC₁=PD₁=

5

2

．
（Ⅰ）求证：PA₁∥平面ADC₁D₁；
（Ⅱ）求直线PA₁与ADD₁A₁所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取D₁C₁的中点H，连接PH，AH．可以证得四边形PA₁AH为平行四边形，即PA₁∥AH，进而由线面平行的判定定理可得PA₁∥平面ABC₁D₁．
（Ⅱ）由PA₁∥AH，可得直线PA₁与平面ADD₁A₁所成角等于直线AH与平面ADD₁A₁所成角，即∠HAD₁就是直线AH与平面ADD₁A₁所成角，解Rt△HAD₁，可得直线PA₁与ADD₁A₁所成角的正切值．

解答：证明：（Ⅰ）取D₁C₁的中点H，连接PH，AH．
∵PC1=PD1=

5

2

，D₁C₁=1，P∈平面DCC₁D₁，
∴PH⊥D1C1，D1H=

1

2

，
∴PH=

PD12-D1H2

=1，（2分）
∴PH∥D₁D∥A₁A，PH=A₁A，
∴四边形PA₁AH为平行四边形，
∴PA₁∥AH，（4分）
又AH?平面ABC₁D₁，PA₁?平面ABC₁D₁，
∴PA₁∥平面ABC₁D₁．  （7分）
（Ⅱ）∵PA₁∥AH，
∴直线PA₁与平面ADD₁A₁所成角等于直线AH与平面ADD₁A₁所成角．
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，显然HD₁⊥平面ADD₁A₁，
∴∠HAD₁就是直线AH与平面ADD₁A₁所成角．                      （10分）
在Rt△HAD₁中，D1H=

1

2

，AD1=

2

，tan∠HAD1=

D1H

AD1

=

2

4

∴直线PA₁与平面ADD₁A₁所成角的正切值为

2

4

．                    （14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，（I）的关键是证得四边形PA₁AH为平行四边形，（II）的关键是分析出∠HAD₁就是直线AH与平面ADD₁A₁所成角．