Question

用三个全等的等腰三角形拼接成一个正三棱锥形的漏斗（如图）．已知三角形的一腰长为2．
（Ⅰ）将漏斗容积V表示成关于三棱锥高h的函数关系式．
（Ⅱ）求漏斗容积的最大值，并求此时漏斗的高与等腰三角形的顶角大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出漏斗的上底面边长，结合腰长为2求出底边上的高，把底面边长用高表示，则可以求得漏斗容积V关于三棱锥高h的函数关系式．
（Ⅱ）求出V关于h的函数式的导函数，利用导函数判断出单调性，利用单调性求最值并求出漏斗的高与等腰三角形的顶角大小．

解答：解：（Ⅰ）设等腰三角形的底边长为a，则三棱锥底面三角形边上的高为

3

2

a
∴（

2

3

×

3

2

a）²+h²=4，即h²+

1

3

a²=4
∴V=

1

3

×

3

4

×a²×h=

3

12

h(12-3h2)=

3

h-

3

4

h3(0＜h＜2)；
（Ⅱ）∵V'=

3

-

3 3

4

h2，令V'=0，即h=

2

3

3

当0＜h＜

2

3

3

时，V'＞0
当

2

3

3

＜h＜2时，V'＜0
∴h=

2

3

3

时V取得极大值为

4

3

并且这个极大值是最大值
把h=

2

3

3

代入h²+

1

3

a²=4，得a=2

2

∴在△ASB中，∠ASB=

π

2

即漏斗容器的最大值为

4

3

，此时漏斗的高为

2

3

3

，等腰三角形的顶角为

π

2

．

点评：本题考查了锥体体积的表示方法，考查了利用导数求函数的最值，解答的关键是熟练掌握函数的单调性与导函数符号之间的关系，是中档题．