Question

已知函数f（x）=2sin（x+

π

3

）-2sinx，x∈[-

π

2

，0]．
（Ⅰ）若cosx=

3

3

，求函数f（x）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据平方关系和x的范围求出sinx的值，再利用两角和的正弦公式化简函数解析式，把cosx和sinx的值代入求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得和辅助角公式进一步化简函数解析式，由x的范围求出“x+

π

6

”的范围，再由余弦函数的性质求出余弦值的范围，进而求出函数的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵cosx=

3

3

，x∈[-

π

2

，0]，
∴sinx=-

1-cos2x

=-

1- 3 9

=-

6

3

，
则f(x)=2sin(x+

π

3

)-2sinx=2(

1

2

sinx+

3

2

cosx)-2sinx
=

3

cosx-sinx=1+

6

3

，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f(x)=

3

cosx-sinx=2cos(x+

π

6

)，
∵-

π

2

≤x≤0，∴-

π

3

≤x+

π

6

≤

π

6

，
∴

1

2

≤cos(x+

π

6

)≤1，
则函数f（x）的值域是[1，2]．

点评：本题考查了三角恒等变换的公式应用，以及余弦函数的性质，属于中档题．