Question

在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的边长，已知a=2

3

且tan

A+B

2

+tan

C

2

=4，sinBsinC=cos2

A

2

．
求A，B及b，c．

Answer 1

分析：先根据三角函数的诱导公式将tan

A+B

2

+tan

C

2

=4转化为C的关系，再由sinBsinC=cos2

A

2

确定角A的范围，再由三角函数的两角和与差的正弦公式求出A的值，进而得到B的值，最后根据正弦定理可求b，c的值．

解答：解：∵A+B+C=π∴A+B=π-C
∵tan

A+B

2

+tan

C

2

 =4∴tan(

π

2

-

C

2

)+tan 

C

2

=4
∴

cos C 2

sin C 2

+

sin C 2

cos C 2

=

1

sin C 2 cos C 2

=

2

sinC

=4
∴sinC=

1

2

∵sinBsinC=cos2

A

2

∴sinB×

1

2

=

cosA+1

2

∴sinB=1+cosA
∴cosA＜0∴A为钝角，B、C为锐角
∵sinC=

1

2

∴cosC=

3

2

，C=30°
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

3

2

sinA+

1

2

cosA=1+cosA
∴

3

2

sinA-

1

2

cosA=sin(A-30°)=1
∴A-30°=90°∴A=120°
∴B=180°-A-C=30°
根据正弦定理可得b=

a

sinA

•sinB=

2 3

sin120°

•sin30°=2
c=

a

sinA

•sinC=

2 3

sin120°

•sin30°=2

点评：本题主要考查诱导公式、两角和与差的正弦公式和正弦定理的应用．三角函数部分的公式比较多不容易记，而且还是高考的热点问题，一定要强化记忆做到熟练掌握．