Question

【题目】已知椭圆过点，其离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与相交于两点，在轴上是否存在点，使为正三角形，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：利用离心率可以得出的关系，化为的关系，再利用椭圆过点满足椭圆方程，列出的方程，借助解出，写出椭圆E的方程，联立方程组，化为关于的一元二次方程，利用设而不求思想，借助根与系数关系，利用弦长公式求出，写出AB中点P的坐标，利用，解出m，写出直线的方程.

试题解析：

（1）由，和过点，可求得a,b,c，和椭圆标准方程。（2）由（1）可知椭圆方程，直线代入椭圆方程，消y得，由韦达定理和弦长公式表示出|AB|,再由韦达定理和C点（由AB的垂直平分线方程中令x=0求得）到直线距离求得d,然后令，解出m，再检验判别式，可解。

试题解析：（1）由已知得，解得.

椭圆的方程为.

（2）把代入的方程得，

设，则，

，

设的中点为，则

，令，则，

由题意可知，

，解得.符合，

直线的方程为.