Question

【题目】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为椭圆C上的动点，且满足，，面积的最大值为4.

（1）求动点Q的轨迹E的方程和椭圆C的方程.

（2）若点P不在x轴上，过点F2作OP的平行线交曲线C于M、N两个不同的点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）,（2）

【解析】分析：（1）由椭圆的定义可得圆的方程为，结合面积的最大值为可得，又，进而可得结果；（2）由消去可得，利用韦达定理以及三角形面积公式可得三角形面积为=，换元后利用配方法求最值即可.

详解：（1）由椭圆的定义，又

∴

∴动点轨迹E是以F2（c，0）为圆心，半径为的圆，

E的方程为

当点Q到F1F2的距离为时，最大

由题知：即，又

∴

故动点Q的轨迹E的方程为

椭圆C的方程为

（2）设，直线MN的方程为

由消得

显然，则，

∵，∴

=

=

令：t=4+3m2

当时，的最大值为