Question

直线相交于点P．直线l₁与x轴交于点P₁，过点P₁作x轴的垂线交直线l₂于点Q₁，过点Q₁作y轴的垂线交直线l₁于点P₂，过点P₂作x轴的垂线交直线l₂于点Q₂，…，这样一直作下去，可得到一系列点P₁，Q₁，P₂，Q₂，…，点P_n（n=1，2，…）的横坐标构成数列{x_n}．
（1）当k=2时，求点P₁，P₂，P₃的坐标并猜出点P_n的坐标；
（2）证明数列{x_n-1}是等比数列，并求出数列{x_n}的通项公式；
（3）比较的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据直线l₁与x轴交于点P₁，过点P₁作x轴的垂线交直线l₂于点Q₁，过点Q₁作y轴的垂线交直线l₁于点P₂，过点P₂作x轴的垂线交直线l₂于点Q₂，…，可得点P₁，P₂，P₃的坐标，从而猜出点P_n的坐标；
（2）确定Q_n，P_n+1的坐标，利用P_n+1在直线l₁上，对其变形，即可证得结论；
（3）求出P的坐标，表示出与，分类讨论，即可得到结论．
解答：（1）解：由题意可，可猜得．…（4分）
（2）证明：设点P_n的坐标是（x_n，y_n），由已知条件得点Q_n，P_n+1的坐标分别是：．
由P_n+1在直线l₁上，得．
所以，即
所以数列{x_n-1}是首项为x₁-1，公比为的等比数列．
由题设知 ，
从而，∴．…（9分）
（3）解：由得点P的坐标为（1，1）．
所以，．
（i）当，即或时，＞1+9=10，
而此时，∴，
∴．
（ii）当，∴时，＜1+9=10．
而此时，∴，
∴．…（14分）
点评：本题考查等比数列的证明，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．