题目内容
已知f（x）是二次函数，对任意x∈R都满足f（x+1）-f（x）=-2x+1，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-2，1]时，y=f（x）的图象恒在y=-x+m的图象上方，求实数m的取值范围．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-2，1]时，y=f（x）的图象恒在y=-x+m的图象上方，求实数m的取值范围．
分析：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1，可得 c=1．再由f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=-2x+1，求得 a和b的值，可得f（x）的解析式．
（2）由题意-x2+2x+1≥-x+m在x∈[-2，1]上恒成立，即m≤-x2+3x+1在x∈[-2，1]上恒成立．利用单调性求得g（x）=-x2+3x+1在[-2，1]上的最小值，
即可求得m的范围．
（2）由题意-x2+2x+1≥-x+m在x∈[-2，1]上恒成立，即m≤-x2+3x+1在x∈[-2，1]上恒成立．利用单调性求得g（x）=-x2+3x+1在[-2，1]上的最小值，
即可求得m的范围．
解答：解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），∵f（0）=1，可得 c=1．
又f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=-2x+1，∴a=-1，b=2，所以f（x）=-x2+2x+1．
（2）由题意-x2+2x+1≥-x+m在x∈[-2，1]上恒成立，即m≤-x2+3x+1在x∈[-2，1]上恒成立．
令g（x）=-x2+3x+1易知g（x）在x∈[-2，1]上为增函数，则g（x）min=g（-2）=-9，所以m≤-9，
即实数m的取值范围为（-∞，-9]．
又f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=-2x+1，∴a=-1，b=2，所以f（x）=-x2+2x+1．
（2）由题意-x2+2x+1≥-x+m在x∈[-2，1]上恒成立，即m≤-x2+3x+1在x∈[-2，1]上恒成立．
令g（x）=-x2+3x+1易知g（x）在x∈[-2，1]上为增函数，则g（x）min=g（-2）=-9，所以m≤-9，
即实数m的取值范围为（-∞，-9]．
点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．
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