Question

如图，三棱锥P―ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB。

   （1）求证：AB⊥平面PCB；

   （2）求二面角C―PA―B的大小的余弦值。

Answer 1

（1）证明：

∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，

∴PC⊥AB。                                                                         

∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，

∴CD⊥AB。                                                                         

又PC∩CD=C，

∴AB⊥平面PCB。                  

   （2）解法一：

取AB的中点E，连结CE、DE。

∵PC=AC=2，∴CE⊥PA，CE=

∵CD⊥平面PAB，

由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA。

∴∠CED为二面角C―PA―B的平面角。

由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，

又∵AB=BC，AC=2，求得BC=

   （2）解法二：

∵AB⊥BC，AB⊥平面PBC，过点B作直线l∥PA，

则l⊥AB，l⊥BC，以BC、BA、l所在直线为x、y、

z轴建立空间直角坐标系（如图）。

设平面PAB的法向量为

得

设平面PAC的法向量为，

解得                                                

                                    

                                         

   （2）解法三：

∵CD⊥平面PAB，∴是平面PAB的一个法向量。

取AC中点F，∵AB=BC=，∴BF⊥AC，

又PC⊥平面ABC，有平面PAC⊥平面ABC，

∴BF⊥平面PAC，∴是平面PAC的一个法向量。