Question

已知函数f（x）=ax³-

3

2

x²+b，（x∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x-8，求a的值；
（2）若a＞0，b=2，当x∈[-1，1]时，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义可知在x处的导数等于切线的斜率，建立等式关系，求出切点的横坐标，代入函数关系式，求出切点坐标，最后利用点斜式方程写出切线方程即可．
（2）先求导f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）．再对a进行分类讨论：当

1

a

＞1，当0＜

1

a

＜1；分别求得f（x）在区间[-1，1]上的最小值即可．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²-3x，f′（2）=6得a=1
由切线方程y=6x-8得f（2）=4；
又f（2）=8a-6+b=b+2，所以b=2
所以a=1，b=2
（2）f（x）=ax³-

3

2

x²+2
f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=

1

a

．
以下分两种情况讨论：
①若

1

a

＞1即0＜a＜1，当x变化时，f’（x），f（x）的变化情况如下表：

X	（-1，0）	0	（0，1）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

f（-1）=-a-

3

2

+2，f（1）=a-

3

2

+2
所以  f（x）_min=f（-1）=

1

2

-a
②若0＜

1

a

＜1即a＜1．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

X	（-1，0）	0	（0， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，1）
f’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

f（-1）=

1

2

-a，f（

1

a

）=2-

1

2a 2

而f（

1

a

）-f（-1）=2-

1

2a 2

-（

1

2

-a）=

3

2

+a-

1

2a 2

＞0
所以f（x）_min=f（-1）=

1

2

-a
综合①和②得：f（x）_min=f（-1）=

1

2

-a．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．