Question

已知函数f（x）=2+，数列{a_n}满足a₁=1，=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）证明：数列{}是等差数列；
（2）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…a_na_n+1，求S_n．

Answer 1

（1）证明：因为f（x）=2+，
由=f（a_n）得，，
即（n∈N*），
所以，数列{}是公差为2的等差数列；
（2）解：由数列{}是公差为2的等差数列，．
所以．
则．
=
所以，S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=+
=
=
=．
分析：（1）由f（x）=2+，=f（a_n）联立可得递推式，移向后即可得到结论；
（2）由数列{}是等差数列求出a_n，把a_n代入S_n=a₁a₂+a₂a₃+…a_na_n+1，利用裂项相消可求前n项和．
点评：本题考查了数列的函数特性，考查了等差数列的通项公式，训练了裂项相消求数列的前n项和，此题是中档题．