Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离和为6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx，求直线DE的斜截式方程；
（3）设椭圆C的弦DE的中点为（-1，1），求直线DE的斜截式方程；
（4）设直线l：y=x-2与椭圆C交于M、N两点，O是原点，求△OMN的面积．

Answer 1

分析：（1）由已知2a=6，

c

a

=

6

3

，能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点E(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，由

x2+3y2=9 y=kx-2

得（1+3k²）x²-12kx+3=0，由韦达定理和根的判别式能够求出k的取值范围．
（3）设D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），由DE的中点为（-1，1），知x₃+x₄=-2，y₃+y₄=2，利用点差法能够求出直线DE的斜截式方程．
（4）由

y=x-2 x2 9 + y2 3 =1

，得4x²-12x+3=0，设M（x₅，y₅），N（x₆，y₆），则x5+x6=3，x5•x6=

3

4

，故|MN|=

2(32-4× 3 4 )

=2

3

，原点O到直线y=x-2的距离d=

2

，由此能求出△OMN的面积．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，
椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离和为6．
∴2a=6，

c

a

=

6

3

，
解得a=3，c=

6

，
所以b²=a²-c²=3…（2分）
故椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

3

=1…（3分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则中点为E(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)
由

x2+3y2=9 y=kx-2

，
得（1+3k²）x²-12kx+3=0，
则x1+x2=

12k

1+3k2

，x1x2=

3

1+3k2

，（5分）
∵直线与椭圆有两个不同的焦点，
∴△=144k²-12（1+3k²）＞0，
整理，得108k²＞12，
解得k2＞

1

9

…（6分）
（3）设D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），
∵DE的中点为（-1，1），
∴x₃+x₄=-2，y₃+y₄=2，
把D（x₃，y₃），E（x₄，y₄）代入椭圆C的方程x²+3y²=9，
得

x32+3y32=9 x42+3y42=9

，
∴（x₃-x₄）（x₃+x₄）+3（y₃-y₄）（y₃+y₄）=0，
∴-2（x₃-x₄）+6（y₃-y₄）=0，
∴k=

y3-y4

x3-x4

=

1

3

，
∴直线DE的方程是：y-1=

1

3

(x+1)，
其斜截式方程为y=

1

3

x+

4

3

．
（4）由

y=x-2 x2 9 + y2 3 =1

，
得x²+3（x-2）²=9，
整理，得4x²-12x+3=0，
设M（x₅，y₅），N（x₆，y₆），
则x5+x6=3，x5•x6=

3

4

，
∴|MN|=

2(32-4× 3 4 )

=2

3

，
∵原点O到直线y=x-2的距离d=

|0-0-2|

2

=

2

，
∴△OMN的面积S=

1

2

×2

3

×

2

=

6

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．