Question

已知函数f(x)=sin(

π

2

-x)+sinx．
（1）求f(

π

4

)的值；      
（2）求函数f（x）的最小正周期；
（3）若f(α-

π

4

)=

2

3

，求f(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）解析式第一项利用诱导公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，将x=

π

4

代入计算即可求出f（

π

4

）的值；
（2）找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；
（3）根据f（α-

π

4

）=

2

3

，由f（x）解析式，求出sinα的值，将x=2α+

π

4

代入f（x）解析式计算即可求出f（2α+

π

4

）的值．

解答：解：（1）f（x）=cosx+sinx=

2

（

2

2

sinx+

2

2

cosx）=

2

sin（x+

π

4

），
则f（

π

4

）=

2

sin

π

2

=

2

；
（2）∵ω=1，∴T=

2π

1

=2π；
（3）∵f（α-

π

4

）=

2

sinα=

3

2

，
∴sinα=

1

3

，
∴f（2α+

π

4

）=

2

sin（2α+

π

2

）=

2

cos2α=

2

（1-2sin²α）=

2

×（1-

2

9

）=

7 2

9

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．