题目内容

已知数列{an}满足 ．
（I）求数列的前三项a1，a2，a3；
（II）求证：数列 为等差数列；
（III）求数列{an}的前n项和Sn．
解：（I）由 an=2an﹣1+2n﹣1（n∈N+，且n≥2）得 a4=2a3+24﹣1=81，得a3=33，
同理，可得 a2=13，a1=5．
（II）∵an=2an﹣1+2n﹣1，
∴ ﹣ = ﹣ =1，
故数列 是以2为首项，以1为公差的等差数列．
（III）由（II）可得  =2+（n﹣1）×1，
∴an=（n+1）2n+1．
∴Sn=a1+a2+…+an=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）×2n+n，
记Tn=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）×2n，
则有2Tn=2×22+3×23+…+n×2n +（n+1）2n+1．
两式相减，
可得﹣Tn=2×2+22+23+…+2n﹣（n+1）2n+1=4+ ﹣（n+1）2n+1=﹣n·2n+1，
解得  Tn=n×2n+1，故 Sn=Tn+n=n×2n+1+n=n?（2n+1+1 ）．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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