题目内容

设函数y=f（x）= $数学公式$ +a（ $数学公式$ + $数学公式$ ），a∈R
（Ⅰ）设t= $数学公式$ + $数学公式$ ，把y表示成t的函数，并求出t的取值范围；
（Ⅱ）设f（x）的最小值为g（a），求g（a）的解析式，并求g（a）的值域．

解：（I）由t= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 两边同时平方可得， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵f（x）= $\text{[math]}$ +a（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵0≤1-x²≤1
∴2≤t²≤4且t＞0
∴ $\text{[math]}$
∴y=f（t）= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
（II）∵y=f（t）= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
①当-a≥2即a≤-2时，函数f（t）在[ $\text{[math]}$ ]单调递减，g（a）=f（2）=2a+1≤-3
②当 $\text{[math]}$ 即a $\text{[math]}$ 时，函数f（t）在[ $\text{[math]}$ ]单调递增，g（a）=f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ≥-2
③当 $\text{[math]}$ 即-2＜a＜- $\text{[math]}$ 时，g（a）=f（-a）= $\text{[math]}$ ∈（-3，-2）
根据分段函数的性质可知，分段函数的值域是各段函数值域的并集
∴g（a）的值域为R
分析：（I）对t= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 两边同时平方可得t与x的关系，代入已知函数中即可求解f（t），
（2）由（I）可得f（t）与t的关系及t的范围，然后结合二次函数的性质可求函数的最小值g（a）
点评：本题主要考查了换元法在求解函数值域中的应用，二次函数在闭区间上最值的求解，体现了分类讨论思想的应用．