Question

已知集合A={x|x²-3x+2＜0}，集合B={x|x²-（3m-2）x+2m²-3m+1＜0}．
（1）若m=1，求A∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当m=1时，求出集合A，B，利用集合的运算求A∪B；   
（2）利用条件“x∈A”是“x∈B”的充分条，确定条件关系即可求m的取值范围．

解答：解：（1）当m=1时，B={x|x²-（3m-2）x+2m²-3m+1＜0}={x|x²-x＜0}={x|0＜x＜1}
A={x|x²-3x+2＜0}=A={x|1＜x＜2}，
∴A∪B={x|0＜x＜2}．
（2）∵A={x|x²-3x+2＜0}=A={x|1＜x＜2}，
B={x|x²-（3m-2）x+2m²-3m+1＜0}
若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
则A⊆B，
即当1＜x＜2时，不等式x²-（3m-2）x+2m²-3m+1＜0恒成立，
设f（x）=x²-（3m-2）x+2m²-3m+1，
则

f(1)≤0 f(2)≤0

，
即

1-(3m-2)+2m2-3m+1≤0 4-2(3m-2)+2m2-3m+1≤0

，
∴

m2-3m+2≤0 2m2-9m+9≤0

，
即

1≤m≤2 3 2 ≤m≤3

，
解得

3

2

≤m≤2．

点评：本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，将不等式恒成立转化为对应二次函数，利用二次函数根的分布求解，是解决本题的关键．