Question

已知函数

    （1）若x=2为的极值点，求实数a的值；

    （2）若在上为增函数，求实数a的取值范围；

    （3）当时，方程有实根，求实数b的最大值。

Answer 1

(1)解：        ……1分
因为x = 2为f (x)的极值点，所以                                ……2分
即，解得：a = 0                                           ……3分
又当a = 0时，，从而x = 2为f (x)的极值点成立．           ……4分
(2)解：∵f (x)在区间[3，+∞)上为增函数，
∴在区间[3，+∞)上恒成立．         ……5分
①当a = 0时，在[3，+∞)上恒成立，所以f (x)在[3，+∞)上为增函数，

故a = 0符合题意．                                                  ……6分
②当a≠0时，由函数f (x)的定义域可知，必须有2ax + 1 > 0对x≥3恒成立，故只能a > 0，
所以在区间[3，+∞)上恒成立．               ……7分
令，其对称轴为                      ……8分
∵a > 0，∴，从而g (x)≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可，
由，解得：                   ……9分
∵a > 0，∴．综上所述，a的取值范围为[0，]       ……10分

(3)解：时，方程可化为，．
问题转化为在(0，+∞)上有解                              ……11分
令，则                   …12分
当0 < x < 1时，，∴h (x)在(0，1)上为增函数
当x > 1时，，∴h (x)在(1，+∞)上为减函数
故h (x)≤h (1) = 0，而x > 0，故     即实数b的最大值是0．