Question

21.已知a是实数，函数f(x)=2ax²+2x-3-a.如果函数y=f(x)在区间[-l，1]上有零点，求a的取值范围.

Answer 1

解：(解法一)若a=0,则函数f(x)=2x-3在区间[-1,1]上没有零点.

下面就a≠0时分三种情况讨论：

(1)方程f(x)=0在区间   [-1,1]上有重根.

此时△=4(2a²+6a+1)=0,

解得a=

当a=时,f(x)=0的重根x=[-1,1];

当a=时,f(x)=0的重根x=[-1,1];

故当方程f(x)=0在区间[-1,1]上有重根时,a=.

(2)f(x)在区间[-1,1]上只有一个零点且不是f(x)=0的重根.

此时有f(-1)f(1)≤0.

∵f(-1)=a-5,f(1)=a-1,

∴(a-5)(a-1)≤01≤a≤5.

∵当a=5时,方程f(x)=0在区间[-1,1]上有两个相异实根.

故当方程f(x)=0在区间[-1,1]上只有一个根且不是重根时，1≤a＜5.

(3)方程f(x)=0在区间[-1,1]上有两个相异实根

因为函数f(x)=2a

其图象的对称轴方程为x=,a应满足：

(Ⅰ)或(Ⅱ)

解不等式组（Ⅰ）得a≥5.

解不等式组（Ⅱ）得a＜

故当方程f(x)=0,在区间[-1，1]上有两个相异实根时，

a

注意到当1≤a＜5,f(-1)f(1) ≤0,方程f(x)=0在区间[-1，1]上有根；

当a时，由于方程f(x)=0在[-1,1]上有根；

当a=时，方程f(x)=0在区间[-1,1]有根.

综上所述，函数y=f(x)在区间[-1，1]有零点，则a的取值范围是

（解法二）若a=0，则函数f(x)=2x-3在区间[-1，1]上没有零点.

下面讨论a≠0时的情况：

(1)若f(-1)f(1)≤0，则f(x)必在[-1，1]上有零点.

∵f(-1)=a-5,f(1)=a-1,

∴(a-5)(a-1)≤01≤a≤5.

即1≤a≤5时，函数f(x)在区间[-1，1]上有零点.

（2）若f(-1)f(1)＞0,下面分两种情况讨论：

①当f(-1)=a-5＞0,f(1)=a-1＞0,即a＞5时，

有||＜1，抛物线y=f(x)的对称轴x=必在直线x=-1和x=1之间，且f

于是f(-1)f(-)＜0,f(1)f(-)＜0,

所以函数f(x)在区间内各有一个零点.

故当a＞5时，函数f(x)在区间[-1,1]上有零点.

②当f(-1)=a-5＜0,f(1)=a-1＜0,即a＜1时，

i. 当0＜a＜1时，f(x)=0的两根x₁,₂=

由于1+6a+2a²-(1+2a)²=2a(1-a)＞0,

所以

于是x₁=

故当0＜a＜1时，函数f(x)在区间[-1，1]没有零点.

ii. 当a＜0时，若函数f(x)在区间[-1,1]有零点，则f(x)的最大值f(-)≥0.

否则由于f(-)是最大值，函数f(x)在区间[-1,1]没有零点.

此时抛物线y=f(x)的对称轴x=-在直线x=-1和x=1之间，即a满足解得a≤

即当a≤时，函数f(x)在区间[-1，1]有零点.

综上所述，若函数y=f(x)在区间[-1,1]有零点，则a的取值范围是