Question

【题目】已知函数，在一个周期内的图像如图所示.

（I）求函数的解析式；

（II）设，且方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围以及这两个根的和.

Answer 1

【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)见解析.

【解析】

（I）根据三角函数的图像的最高点，求得的值，根据三角函数的周期，求得的值，根据函数图像上的特殊点，求得的值，由此求得函数的解析式.（II）画出函数的图像与函数的图像，根据图像求得的的取值范围.根据对称性求得两根的和.

（I）由题设图象，易得，，

所以，所以.

所以.

因为函数的图象经过点，

所以，即.

又因为，所以，

所以，所以.

故所求函数的解析式为.

（Ⅱ）由题意，知方程有两个不同的实数根等价于函数的图象与的图象有两个不同的交点.

因为，

易画出函数的图象与函数的图象（如图所示）.

依据图象可知：

当或时，

直线与曲线有两个不同的交点，

即方程有两个不同的实数根，

故所求实数的取值范围为.

①当时，与的图象有两交点且关于直线对称，设此时方程两个不同的实数根分别为，，

所以当，即

②当时，与的图象有两交点且关于直线对称，设此时方程两个不同的实数根分别为，，

所以，即

综上，当时，所求方程的两根之和为

当时，所求方程的两根之和为.