Question

已知a＞0且a≠1，f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)（x∈R）
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断f（x）的单调性并证明；
（3）对于f（x），当x∈（-1，1）时f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的集合M．

Answer 1

分析：（1）利用函数奇偶性的定义即可判断证明；
（2）分a＞1，0＜a＜1两种情况讨论即可利用定义作出证明；
（3）根据函数奇偶性、单调性可把不等式转化为具体不等式，再考虑到函数定义域可得一不等式组，解出即可．

解答：解：（1）f（x）为奇函数．
∵f（x）定义域为R，关于原点对称，
又f（-x）=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

（ax1-a-x1）-

a

a2-1

（ax2-a-x2）=

a

a2-1

•

(ax1-ax2)(ax1+x2+1)

ax1+x2

，
①当a＞1时，

a

a2-1

＞0，又x₁0，ax1+x2+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）为增函数；
②当0＜a＜1时，

a

a2-1

＜0，当x₁0，ax1+x2+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）也为增函数，
综上f（x）为增函数；
（3）∵f（x）是奇函数且在R上是增函数，
∴f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
又x∈（-1，1），∴

-1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1 1-m＜m2-1

，解得1＜m＜

2

，
故M={m|1＜m＜

2

}．

点评：本题考函数奇偶性、单调性的证明及其应用，考查抽象不等式的求解，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．