Question

如图，A、B是两圆O₁、O₂的交点，AC是小圆O₁的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆O₂的交点，已知AC=2，BE=5，且BC=AD．
（Ⅰ）求DE的长；
（Ⅱ）求圆O₂的面积．

Answer 1

分析：（1）首先根据题中圆的切线条件再依据切割线定理求得一个线段的等式，再根据线段的关系可求得DE的长度即可．
（2）由AE为圆O₂的直径得，直角三角形ADE，再结合勾股定理即可求得圆的直径，从而求出圆的面积．

解答：解：（Ⅰ）连接AB，设CB=AD=x，
由切割线定理得，CA•CD=CB•CE，即2（2+x）=x（x+5），（2分）
解得x=1或x=-4（舍去），即CD=3，CE=6，
∵CA是直径，
∴∠CBA=90°，即∠D=90°，（4分）
∴CD²+DE²=CE²，∴DE=3

3

．（6分）
（Ⅱ）连接AE，
∵∠D=90°，AE为圆O₂的直径，（8分）
∵AD²+DE²=AE²，
∴AE²=28，
∴圆O₂的面积为7π．（10分）

点评：本题考查与圆有关的比例线段、平面几何的切割线定理，属容易题．