Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点M（

2

，1），且左焦点为F1(-

2

，0)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）判断是否存在经过定点（0，2）的直线l与椭圆C交于A、B两点并且满足

OA

•

OB

=0，若存在求出直线l的方程，不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）由左焦点为F1（-

2

，0），知c²=a²-b²=2，由椭圆过点M（

2

，1），知

2

a2

+

1

b2

=1，联立

a2-b2=2 2 a2 + 1 b2 =1

，能推导出椭圆C方程．
（2）设直线l为y=kx+2，把y=kx+2代入

x2

4

+

y2

2

=1，并整理，得（2k²+1）x²+8kx+4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2 =-

8k

2k2+1

，x1x2=

4

2k2+1

，y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=4-

12k2

2k2+1

，由

OA

•

OB

=0，知x₁x₂+y₁y₂=0，所以

4

2k2+1

+4-

12k2

2k2+1

=0，由此能求出直线l的方程．

解答：解：（1）∵左焦点为F1（-

2

，0），
∴c²=a²-b²=2，
∵椭圆过点M（

2

，1），
∴

2

a2

+

1

b2

=1，
联立

a2-b2=2 2 a2 + 1 b2 =1

，得a²=4，b²=2，
∴椭圆C方程：

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）存在经过定点（0，2）的直线l与椭圆C交于A、B两点并且满足

OA

•

OB

=0．
设直线l为y=kx+2，
把y=kx+2代入

x2

4

+

y2

2

=1，并整理，得（2k²+1）x²+8kx+4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2 =-

8k

2k2+1

，x1x2=

4

2k2+1

，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=4-

12k2

2k2+1

，
∵

OA

•

OB

=0，∴

OA

2+

OB

2=

AB

2，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

4

2k2+1

+4-

12k2

2k2+1

=0，
解得k=±

2

，
∴直线l为y=

2

x+2或y=-

2

x+2．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆、向量、韦达定理的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．