Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₁=2，S_n+1=3S_n+2（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求证：数列{S_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）求通项公式a_n；
（Ⅲ）设b_n=

an

S 2 n

，求证：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n+1=3S_n+2，知S_n+1+1=3（S_n+1），由此能够证明{S_n+1}是等比数列．
（Ⅱ）由S_n=3ⁿ-1，得到S_n-1=3^n-1-1，由此能求出a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=

2

3

×3n．
（Ⅲ）b_n=

an

S 2 n

=

2 3 ×3n

(3n-1)2

，由此入手，能够证明b₁+b₂+…+b_n＜1．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n+1=3S_n+2，
∴S_n+1+1=3（S_n+1）
∵S₁+1=2+1=3
∴{S_n+1}是首项为3公比为3的等比数列．
（Ⅱ）∵{S_n+1}是首项为3公比为3的等比数列．
∴S_n+1=3×3^n-1=3ⁿ，
∴S_n=3ⁿ-1，
S_n-1=3^n-1-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=

2

3

×3n．
（Ⅲ）证明：∵S_n=3ⁿ-1，an=

2

3

×3n，
∴b_n=

an

S 2 n

=

2 3 ×3n

(3n-1)2

=

2 3 ×3n

32n-2×3n+1

＜

2 3

3n-2

=

2

3

×

1

3n-2

，
设cn=

2

3

×

1

3 n-2

，
b₁+b₂+…+b_n＜c₁+c₂+c₃+…+c_n
=

2

3

(

1

3-2

+ 

1

9-2

+

1

27-2

+…+

1

3 n-2

)
＜

2

3

（1+

1

3

+

1

9

+…+

1

3 n-1

）
=

2

3

×

1×(1- 1 3 n )

1- 1 3

=1-

1

3 n

＜1．
∴b₁+b₂+…+b_n＜1．

点评：本题考查数列与不等式的综合，综合题强，难度大，计算繁琐，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意放缩法的合理运用．