Question

已知函数f（x）为奇函数，且f（2+x）=f（2-x），当-2≤x＜0时，f（x）=2^x，则f（2+log₂3）=

 

．

Answer 1

分析：先由f（2+x）=f（2-x）得：f（4-x）=f（x），把所求问题转化为f[4-（2+log2³）]=f（2-log2³），再利用对数的运算性质转化为f（log2

4

3

），因为其为奇函数，可转化为-f（log2

3

4

；再分析出 log2

3

4

∈（-1，0），直接代入-2≤x＜0时，f（x）=2^x，即可求得结论．

解答：解：因为f（2+x）=f（2-x），得：f（4-x）=f（x）
∴f（2+log2³）=f[4-（2+log2³）]=f（2-log2³）=f（log2⁴-log2³）=f（log2

4

3

）=-f（log2

4

3

）=-f（log2

3

4

）．
∵

3

4

∈（

1

2

，1）∴log2

3

4

∈（-1，0）
又因为当-2≤x＜0时，f（x）=2^x，
∴f（log2 

3

4

）=2log2

3

4

=

3

4

．
故f（2+log2³）=-f（log2

3

4

）=-

3

4

．
故答案为：-

3

4

．

点评：本题主要考查函数的奇偶性以及对数的运算性质．在对数的结论中alogab=b，比较常用，需要注意．