Question

如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
（1）求证：AB⊥DE；
（2）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性质、直角梯形的性质、正方形的性质、线面垂直的判定与性质即可证明；
（2）利用面面垂直的性质、线面角的定义即可得出．

解答：（1）证明：取AB中O，连接EO，DO．
∵EB=EA，∴EO⊥AB．
∵四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，
∴四边形OBCD为正方形，∴AB⊥OD．
又∵EO∩OD=O，∴AB⊥平面EOD．
∴AB⊥ED．
（2）∵平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，
∴BC⊥平面ABE．
则∠CEB为直线EC与平面ABE所成的角．
设BC=a，则AB=2a，BE=

2

a，∴CE=

3

a，
在直角三角形CBE中，sin∠CEB=

CB

CE

=

1

3

=

3

3

．
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为

3

3

．

点评：熟练掌握用等腰三角形的性质、直角梯形的性质、正方形的性质、线面、面面垂直的判定与性质、线面角的定义是解题的关键．