Question

已知函数f（x）=2^x，g（x）=+2．
（1）求函数g（x）的值域；
（2）求满足方程f（x）-g（x）=0的x的值．

Answer 1

解：（1）g（x）=+2=（）^|x|+2，
因为|x|≥0，所以0＜（）^|x|≤1，即2＜g（x）≤3，
故g（x）的值域是（2，3]．
（2）由f（x）-g（x）=0得2^x--2=0，
当x≤0时，显然不满足方程，即只有x＞0满足2^x--2=0，
整理得（2^x）²-2•2^x-1=0，（2^x-1）²=2，
故2^x=1±，
因为2^x＞0，所以2^x=1+，即x=log₂（1+）．
分析：（1）求函数g（x）的值域先研究其性质，由于|x|≥0，故得0＜（）^|x|≤1，代入g（x）=+2求值域，此方法先求局部取值范围再研究整体的值域．
（2）将f（x）=2^x，g（x）=+2代入方程f（x）-g（x）=0得2^x--2=0，解此指数型方程求x的值
点评：本题考点是指数函数综合题，考查求函数的值域与解指数型方程，解题过程中要注意指数函数的值域是（0，+∞）这一隐含条件．