Question

【题目】已知抛物线过点，过点作直线与抛物线交于不同两点、，过作轴的垂线分别与直线、交于点、，其中为坐标原点.

（1）求抛物线的方程；

（2）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；

（3）求证：为线段的中点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）焦点坐标为，准线方程为；（3）证明见解析.

【解析】

（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可求出抛物线的标准方程；

（2）根据（1）中的结果可写出抛物线的焦点坐标和准线方程；

（3）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，求出点、的坐标，然后结合韦达定理证明出点、的纵坐标之和为点纵坐标的两倍，即可证明出点为线段的中点.

（1）将点的坐标代入抛物线的方程得，解得，

因此，抛物线的标准方程为；

（2）由（1）知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为；

（3）设直线的方程为，设点、，

将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，

由韦达定理得，.

直线的方程为，联立，得点，

直线的方程为，联立，得点，

点的坐标为，

，则，

因此，为线段的中点.