Question

已知数列+n-4_n，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）证明：当λ≠-18时，数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设S_n为数列{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数?，使{a_n}是等比数列，则有a₂²=a₁a₂，即
（）²=²，矛盾．
所以{a_n}不是等比数列．
（Ⅱ）证明：∵
=
λ≠-18，∴b₁=-（λ+18）≠0．
由上式知，
故当λ≠-18，时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，为公比的等比数列．
（Ⅲ）当λ≠-18时，由（Ⅱ）得，
于是，
当λ=-18时，b_n=0，从而S_n=0．上式仍成立．
要使对任意正整数n，都有S_n＞-12．
即
令
当n为正奇数时，当n为正偶数时，，∴
于是可得
综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12；λ的取值范围为（-∞，-6）．
分析：（Ⅰ）假设存在一个实数?，使{a_n}是等比数列，由题意知（）²=²，矛盾．所以{a_n}不是等比数列．
（Ⅱ）由题设条件知b₁=-（λ+18）≠0.，故当λ≠-18，时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，为公比的等比数列．
（Ⅲ）由题设条件得，，由此入手能够推出存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12；λ的取值范围为（-∞，-6）．
点评：本题考查数列的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用．