Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时，不等式f（x）+xf′（x）＜0恒成立．若a=3^0.3•f（3^0.3），b=（log₄3）•f（log₄3），c=(log2

1

4

)•f(log2

1

4

)，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．c＞a＞b

B．a＞c＞b

C．a＞b＞c

D．c＞b＞a

Answer 1

分析：令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），当x∈（-∞，0）时，由于不等式f（x）+xf′（x）＜0恒成立，可得g（x）在（-∞，0）上单调递减．由于函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，可得g（-x）=-xf（-x）=xf（x）=g（x），是R上的偶函数．进而得到g（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．再利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．

解答：解：令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），
当x∈（-∞，0）时，∵不等式f（x）+xf′（x）＜0恒成立，∴g（x）在（-∞，0）上单调递减，
∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴g（-x）=-xf（-x）=xf（x）=g（x），是R上的偶函数．
∴g（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
∵log2

1

4

=-2，∴c=g（-2）=g（2）．
而2¹⁰＞3³，∴2＞3^0.3．
∴2＞3^0.3＞1＞log₄3＞0，
∴g（2）＞g（3^0.3）＞g（log₄3）．
即c＞a＞b．
故选A．

点评：本题综合考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性和单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．